带电小球的单摆运动

虚拟仿真实验 - 探索库伦力对单摆运动的影响

实验参数
1.0 m
10 μC
3°
10 g
1.0× 正常速度
物理参数
小球质量: 0.010 kg
库伦常数: 9.0×10⁹ N·m²/C²
重力加速度: 9.8 m/s²
单摆运动仿真
角度
0.0°
角速度
0.0 rad/s
拉力
0.0 N
拉力-时间图
最大拉力: 0.0 N
最小拉力: 0.0 N
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理论公式推导
物理模型分析

考虑悬挂在长度为 $L$ 的绳子上的带电小球，质量为 $m$，电荷量为 $q$。在小球正下方距离悬点 $1.5L$ 处放置同种固定电荷 $Q$。

力的分析

小球受到三种力的作用：

  1. 重力： $\vec{F_g} = m\vec{g}$ （竖直向下）
  2. 库伦排斥力： $\vec{F_c}$ （沿两电荷连线方向）
  3. 绳子拉力： $\vec{T}$ （沿绳子方向）
几何关系

设小球偏离竖直方向的角度为 $\theta$，则：

  • 小球位置：$(L\sin\theta, L\cos\theta)$
  • 固定电荷位置：$(0, 1.5L)$
  • 两电荷间距离：$r = \sqrt{L^2\sin^2\theta + (1.5L - L\cos\theta)^2}$

简化后的距离表达式：

$$r = L\sqrt{2.25 - 3\cos\theta + \sin^2\theta}$$ $$r = L\sqrt{3.25 - 3\cos\theta}$$
拉力表达式推导

第一步：库伦力计算

根据库伦定律，两电荷间的库伦力大小为：

$$F_c = k\frac{qQ}{r^2} = k\frac{qQ}{L^2(3.25 - 3\cos\theta)}$$

第二步：力的分解

库伦力在径向和切向的分量：

  • 径向分量（沿绳方向）：$F_{c,r} = F_c \cos\alpha$
  • 切向分量（垂直绳方向）：$F_{c,t} = F_c \sin\alpha$

其中 $\alpha$ 是库伦力与绳子方向的夹角：

$$\cos\alpha = \frac{1.5L - L\cos\theta}{r} = \frac{1.5 - \cos\theta}{\sqrt{3.25 - 3\cos\theta}}$$

第三步：径向力平衡

在径向方向上，拉力与重力和库伦力的径向分量平衡：

$$T = mg\cos\theta + F_c\cos\alpha$$

第四步：最终表达式

将各项代入得到绳子拉力的完整表达式：

绳子拉力公式
$$\boxed{T = mg\cos\theta + k\frac{qQ}{L^2} \cdot \frac{1.5 - \cos\theta}{(3.25 - 3\cos\theta)^{3/2}}}$$

参数说明：

  • $m$ - 小球质量 (kg)
  • $g$ - 重力加速度 (9.8 m/s²)
  • $k$ - 库伦常数 (9.0×10⁹ N·m²/C²)
  • $q$ - 悬挂小球电荷量 (C)
  • $Q$ - 固定电荷量 (C，在实验中与 $q$ 相等)
  • $L$ - 绳长 (m)
  • $\theta$ - 摆角 (rad)
实验说明

本实验模拟带电小球在库伦力作用下的单摆运动。悬挂的带电小球受到重力和下方固定同种电荷的排斥力， 通过调节绳长、电荷量和初始角度（0-5度），观察拉力随时间的变化规律。固定电荷位置在绳长的1.5倍处。