七年级下册数学

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7.3 定义、命题、定理

前面，我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述. 例如：

  1. 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴；
  2. 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解；
  3. 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线；
  4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.

这样的描述称为数学对象的定义(definition). 一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断. 例如，"数轴"指的是一条直线，而且这条直线上有规定的原点、正方向和单位长度；根据方程的解的定义，可以判断 $x=\frac{3}{2}$ 是方程 $2x=3$ 的解.

我们再来一些可以判断正确与否的陈述语句，例如：

  1. 等式两边加同一个数，结果仍相等；
  2. 对顶角相等；
  3. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
  4. 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
  5. 如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.

容易判断，前4个语句都是正确的，第5个语句是错误的. 像这样可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题(proposition). 被判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假命题.

数学中的命题常可以写成"如果……那么……"的形式，这时"如果"后接的部分是题设，"那么"后接的部分是结论. 例如，在上面的命题（3）中，"两条直线都与第三条直线平行"是题设，"这两条直线也互相平行"是结论.

有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出来，从而将它们写成"如果……那么……"的形式. 例如，命题"对顶角相等"可以写成"如果两个角是对顶角，那么这两个角相等".

由题设和结论组成的命题，如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题就是正确的；如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题就是错误的. 例如，命题"互为相反数的两个数的绝对值相等"是正确的，命题"如果两个角互补，那么它们是邻补角"是错误的.

练习

  1. 举出一些学过的定义的例子.
  2. 举出一些学过的真命题的例子.
  3. 指出下列命题的题设和结论：
    1. 若 $a=b$，则 $5a=5b$；
    2. 如果 $AB\perp CD$，垂足为 $O$，那么 $\angle AOC=90^\circ$；
    3. 如果 $\angle 1=\angle 2$，$\angle 2=\angle 3$，那么 $\angle 1=\angle 3$；
    4. 两直线平行，同位角相等.

在前面，我们学过一些图形的性质，它们都是真命题. 其中有些命题是基本事实，如"两点确定一条直线""过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行"等. 还有一些命题，如"对顶角相等""内错角相等，两直线平行"，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理（theorem）. 定理也可以作为继续推理的依据.

在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明（proof）. 下面以证明命题"在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条"为例，来说明什么是证明.

例如图7.3-1，已知直线 $a\perp b$，$b\parallel c$，求证 $a\perp c$.

证明

$\because a\perp b$（已知），

$\therefore \angle 1=90^\circ$（垂直的定义）.

$\because b\parallel c$（已知），

$\therefore \angle 1=\angle 2$（两直线平行，同位角相等）.

$\therefore \angle 2=90^\circ$（等式的基本事实）.

$\therefore a\perp c$（垂直的定义）.

1
2
a
b
c

图7.3-1

由例可以看出，证明中的每一步推理都要有根据，不能"想当然". 这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.

判断一个命题是错误的，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.

例如，要判断命题"相等的角是对顶角"是错误的，可以举出如下反例：在图7.3-2中，$OC$ 是 $\angle AOB$ 的平分线，$\angle 1=\angle 2$，但它们不是对顶角.

O
A
B
C
1
2

图7.3-2

练习

  1. 在下面的括号内，填上推理的依据.

    如图，$\angle A+\angle B=180^\circ$，求证 $\angle C+\angle D=180^\circ$.

    证明：$\because \angle A+\angle B=180^\circ$，

    $\therefore AD\parallel BC$（）.

    $\therefore \angle C+\angle D=180^\circ$（）.

    A
    D
    B
    C
  2. 命题"同位角相等"是正确的吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例.