7.2.3 平行线的性质
利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行. 反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？这就是下面要学习的平行线的性质.
类似于研究平行线的判定，我们先来研究两条直线平行时，它们被第三条直线截得的同位角的关系.
探究
如图7.2-9，画两条平行线a∥b，然后任意画一条截线c与这两条平行线相交，度量所形成的八个角的度数.
在∠1，∠2，…，∠8中，哪些是同位角？它们的度数有什么关系？由此猜想两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系.
利用信息技术工具改变截线c的位置，同样度量并比较各对同位角的度数，你的猜想还成立吗？
图7.2-9
一般地，平行线具有性质：
性质1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
思考
前面我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”. 类似地，你能由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？
如图7.2-10，直线a∥b，c是截线. 根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠1=∠2. 而∠3和∠2互为对顶角，所以∠3=∠2. 所以∠3=∠1. 这样就得到了平行线的另一个性质：
图7.2-10
性质2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
类似地，由性质1或性质2，可以推出平行线关于同旁内角的性质（请你自己完成推理过程）：
性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
例2
图7.2-11是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角∠D，∠C分别是多少度？
图7.2-11
解：
因为梯形上、下两底DC与AB互相平行，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠A与∠D互补，∠B与∠C互补. 于是
∠D=180°-∠A=180°-100°=80°，
∠C=180°-∠B=180°-115°=65°.
所以梯形的另外两个角∠D，∠C分别是80°，65°.
练习
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如图，直线a∥b，∠1=54°，∠2，∠3，∠4各是多少度？
（第1题）
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如图，在三角形ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE=60°，∠B=60°，∠AED=40°.
（1）DE和BC平行吗？为什么？
（2）∠C是多少度？为什么？
（第2题）
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将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是________（填序号）.
① ∠1=∠2； ② ∠4+∠5=180°； ③ ∠1+∠4=90°； ④ ∠4+90°=∠3.
（第3题）
前面我们学习了平行线的判定和性质，在解决问题时，经常需要把它们结合起来使用.
例3
如图7.2-12，已知直线a∥b，∠1=∠3，那么直线c与d平行吗？为什么？
图7.2-12
分析：
由于∠2和∠3是直线c与d被直线b所截形成的同位角，所以如果能推出∠2=∠3，就可以判断直线c与d平行. 而已知∠1=∠3，所以只需由直线a∥b，推出∠1=∠2.
解：
直线c与d平行. 理由如下：
如图7.2-12，
∵ a∥b，
∴ ∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）.
又 ∠1=∠3，
∴ ∠2=∠3.
∴ c∥d（同位角相等，两直线平行）.
你能用其他方法判定直线c与d平行吗？
例4
如图7.2-13，∠1=∠2，∠3=50°，∠ABC等于多少度？
图7.2-13
分析：
由于∠3的大小是已知的，所以可以尝试推导∠ABC与∠3的大小关系. 而由已知条件∠1=∠2，可以推出a∥b，从而可以得到∠ABC=∠3.
解：
∵ ∠1=∠2，
∴ a∥b（内错角相等，两直线平行）.
∴ ∠3=∠ABC（两直线平行，同位角相等）.
又 ∠3=50°，
∴ ∠ABC=50°.
练习
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如图，如果直线a∥b，∠1+∠2=180°，那么直线b和c平行吗？为什么？
（第1题）
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如图，AB∥CD，且∠1=∠2，那么直线BE与CF平行吗？为什么？
（第2题）
本节小结
- 平行线的性质1：两直线平行，同位角相等
- 平行线的性质2：两直线平行，内错角相等
- 平行线的性质3：两直线平行，同旁内角互补
- 平行线的性质与判定的区别：判定是由角的关系推出直线平行，性质是由直线平行推出角的关系
- 在解决问题时，经常需要将平行线的性质与判定结合起来使用