7.2.2 平行线的判定
我们已经知道，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行. 但是，由于直线是无限延伸的，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据两条直线不相交来判断它们是否平行. 那么，有没有其他判定方法呢？
思考
在如图7.2-3利用直尺和三角尺画平行线的过程中，三角尺起着什么样的作用？
记图7.2-3中紧贴三角尺的直尺的边所在直线为c，得到图7.2-6，可以看出，画互相平行的直线a和b，实际上就是分别画相等的∠1和∠2的一条边，而∠1和∠2正是直线a，b被直线c截得的同位角. 这说明，如果同位角∠1=∠2，那么a∥b.
图7.2-6
一般地，有如下利用同位角判定两条直线平行的基本事实：
判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角. 由同位角相等，可以判定两条直线平行，能否利用内错角或同旁内角来判定两条直线平行呢？
探究
如图7.2-7，直线a，b被直线c所截.
（1）内错角∠1与∠2满足什么条件时，能得出a∥b？
（2）同旁内角∠1与∠3满足什么条件时，能得出a∥b？
图7.2-7
如果∠1=∠2，由判定方法1，能得到a∥b，理由如下：因为∠1=∠2，而∠2=∠4（为什么？），所以∠1=∠4，即同位角相等，从而a∥b.
这样，就得到了利用内错角判定两条直线平行的方法：
判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
类似地，如果∠1与∠3互补，由判定方法1或判定方法2，能得到a∥b（为什么？）. 这样，就得到了利用同旁内角判定两条直线平行的方法：
判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
例1
在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
分析：
垂直总与直角联系在一起，进而可以用相应角的关系来判断两条直线是否平行.
解：
这两条直线平行. 理由如下：
图7.2-8
如图7.2-8，
∵ b⊥a，
∴ ∠1=90°.
同理 ∠2=90°.
∴ ∠1=∠2.
又 ∠1和∠2是同位角，
∴ b∥c（同位角相等，两直线平行）.
你还能利用其他方法说明b∥c吗？
练习
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如图，E是AB上一点，F是DC上一点，G是BC的延长线上一点.
（1）如果∠B=∠DCG，那么可以判断哪两条直线平行？为什么？
（2）如果∠D=∠DCG，那么可以判断哪两条直线平行？为什么？
（3）如果∠D+∠DFE=180°，那么可以判断哪两条直线平行？为什么？
（第1题）
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如图，木工常用角尺画平行线，你能说出其中的道理吗？
（第2题）
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在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的. 如图，已知∠2是直角，要判断两条钢轨是否平行，只需要再度量图中标出的哪个角？为什么？
（第3题）
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如图是两条道路互相垂直的交叉路口，你能画出它的平面示意图（用两条平行线段表示一条道路）吗？你能用类似的方法，画出两条道路成45°角的交叉路口的平面示意图吗？
（第4题）
本节小结
- 平行线的判定方法1：同位角相等，两直线平行
- 平行线的判定方法2：内错角相等，两直线平行
- 平行线的判定方法3：同旁内角互补，两直线平行
- 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
- 判定两条直线平行的关键是找到合适的角的关系（同位角、内错角或同旁内角）