7.1 相交线 - 七年级下册数学

7.1.1 两条直线相交

在上一章中，我们认识了相交线，知道相交是直线之间的一种基本位置关系。

图7.1

图7.1中，a是一条直线，a直线将平面分成了两个区域，我们把这两个区域叫做a直线的两部分

图7.2

图7.2中，a，b是两条直线，它们相交于一点，a、b两直线把平面分成了四个区域。

我们可以用角的位置关系和数量关系来刻画相交线的位置关系。

如图7.1-1，取两根木条a，b，将它们钉在一起，并把它们想象成两条直线，就得到一个相交线的模型。在转动木条的过程中，它们所成的角也在变化，你能发现这些角之间不变的关系吗？

拖动木条可旋转，观察角度变化

∠aob = 45°

图7.1-1 相交线的木条模型

任意画两条相交的直线，形成四个角（图7.1-2），∠1和∠2有怎样的位置关系？∠1和∠3呢？

分别量一量各个角的度数，∠1和∠2的度数有什么关系？∠1和∠3呢？

利用下方信息技术工具，改变两条直线相交所成的角的大小，上述关系还保持吗？为什么？

拖动直线可旋转，观察四个角的关系

∠1=∠AOC = 45°

∠2=∠COB = 135°

∠3=∠BOD = 45°

∠4=∠DOA = 135°

图7.1-2 相交直线形成的角

∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线（∠1和∠2互补），具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。

∠1和∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。

思考：

图7.1-2中还有没有其他邻补角与对顶角？

在图7.1-2中，∠1=∠3。这个结论还可以通过补角的性质得到：∠1与∠2互补，∠3与∠2互补，由“同角的补角相等”，可得∠1=∠3。类似地，可得∠2=∠4。这样，可以得到对顶角的性质：

对顶角相等。

上面推出“对顶角相等”这个结论的过程，可以写成下面的形式：

因为 ∠1与∠2互补，∠3与∠2互补，

所以 ∠1=∠3（同角的补角相等）。

如图7.1-3，直线a，b相交，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度数。

图7.1-3

由∠1和∠2互为邻补角，得

∠2=180°-∠1=180°-40°=140°。

由对顶角相等，得

∠3=∠1=40°，∠4=∠2=140°。