7.1.3 两条直线被第三条直线所截
课前导入
在前面的学习中，我们研究了两条直线相交的情形，认识了对顶角和邻补角的概念及性质。
现在，让我们从数学演绎推理的角度思考：如果在同一平面内，一条直线与两条直线分别相交，会形成怎样的几何图形？这些角之间又会存在怎样的位置关系呢？
首先，我们知道两条直线相交形成四个角，这些角之间存在对顶角相等、邻补角互补的关系。
接下来，我们进一步推广：当一条直线与两条直线相交时，会形成八个角。这些角中，除了有公共顶点的角（对顶角、邻补角）外，还有许多没有公共顶点的角。
那么，这些没有公共顶点的角之间，是否存在某种规律性的位置关系呢？这就是我们今天要研究的内容——两条直线被第三条直线所截形成的角的位置关系。
前面我们研究了一条直线与另一条直线相交的情形，接下来，我们进一步研究同一平面内一条直线与两条直线分别相交的情形。
图7.1-12 GeoGebra交互式数学画板
GeoGebra使用指南
- 点击工具栏中的直线工具绘制直线
- 使用移动工具拖动直线改变位置
- 使用角度工具测量角度
- 点击"文件"菜单保存或导出图形
- 可以通过工具栏切换不同的绘图工具
如图7.1-12，直线AB，CD与EF相交（也可以说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角。我们已经学习了有公共顶点的角的关系，下面我们看那些没有公共顶点的两个角的关系。
先看图7.1-12中的∠1和∠5，这两个角分别在直线AB，CD的同一侧（上方），并且都在直线EF的同侧（右侧），具有这种位置关系的一对角叫作同位角。
思考：∠2和∠6是同位角吗？图7.1-12中还有没有其他同位角？若有，标记出它们。
再看∠3和∠5，这两个角都在直线AB，CD之间，并且分别在直线EF的两侧（∠3在直线EF的左侧，∠5在直线EF的右侧），具有这种位置关系的一对角叫作内错角。∠3和∠6虽然也都在直线AB，CD之间，但是它们在直线EF的同一旁（左侧），具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角。
思考：图7.1-12中还有没有其他内错角与同旁内角？若有，标记出它们。
图7.1-12 GeoGebra交互式数学画板
例3
如图7.1-13，直线DE，BC被直线AB所截。
(1) ∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4各是什么位置关系的角？
(2) 如果∠1＝∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？
解：
(1) ∠1和∠2是内错角，∠1和∠3是同旁内角，∠1和∠4是同位角。
(2) 如果∠1＝∠4，又对顶角相等，可得∠2＝∠4，因此∠1＝∠2。
因为∠4和∠3互补，所以∠4＋∠3＝180°。又因为∠1＝∠4，所以∠1＋∠3＝180°，即∠1和∠3互补。
练习
1. 分别指出下列各图中的同位角、内错角、同旁内角。
(1)
(2)
2. 如图，∠B与哪个角是内错角？与哪个角是同旁内角？它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？对∠C进行同样的讨论。
(第2题)
思维发散
3. 如图，AB⊥l，CB⊥l，B为垂足，那么A，B，C三点在同一条直线上吗？请说明理由。
(第3题)
4. 直线AB，CD相交于点O。
(1) OE，OF分别是∠AOC，∠BOD的平分线。画出这个图形。
(2) 射线OE，OF在同一条直线上吗？为什么？
图7.1-13 GeoGebra交互式数学画板
本节小结
- 两条直线被第三条直线所截，形成八个角。
- 同位角：在两条被截直线的同一侧，且在截线的同侧的一对角。
- 内错角：在两条被截直线之间，且在截线的两侧的一对角。
- 同旁内角：在两条被截直线之间，且在截线的同一旁的一对角。
- 同位角、内错角、同旁内角是描述角的位置关系的重要概念，是后续学习平行线判定和性质的基础。